Das Thema ist so alt wie der Sport selbst. Beides ist richtig und bezeichnet das gleiche Spiel. Football ist der britische Begriff, Soccer die Bezeichnung in den USA, Kanada, Australien, Irland und vielen anderen Ländern.
Entstanden ist der Begriff Football 1863. Damals legte man in der englischen Football Association das Regelwerk für den neuen Sport fest. Zur Abgrenzung vom damals schon populären „Rugby Football“ nannte man das Spiel „Association Football“.
Und während aus Rugby Football mit der Zeit Rugby wurde, fiel bei der anderen Variante in England die Association weg und die Sportart hieß Football.
In den USA verlief die Entwicklung anders. Dort enstand ein Sport, der Elemente aus Rugby Football und Association Football vereinte. Dieser Sport hieß ursprünglich Gridiron Football, wurde jedoch aufgrund seiner Popularität einfach zu Football. Das ist das Spiel, das wir in Europa als American Football kennen.
Als dann der „echte“ Fußball in die USA kam, musste ein neues Wort gefunden werden. Da traf es sich gut, dass es in Großbritannien historisch eine Kurzform für Fußball gab: Studenten in Oxford hatten aus dem altehrwürdigen Association Football kurzerhand „assoccer“ gemacht, und auf der Reise über den großen Teich ging dann das a am Anfang des Wortes verloren – sprachwissenschaftlich übrigens ein ganz normaler Vorgang.